根据搜索结果，天津生态城的教育培训机构管理涉及多个层面，具体如下：
教育机构监管主体天津生态城教育管理有限公司 ：该机构由天津生态城管理委员会批准设立，天津生态城国有资产管理有限公司全资控股，负责区域内教育资源的引进与市场化供给，探索公办民办教育融合发展。
教育部门监管 ：天津教育委员会及滨海新区教育部门对民办教育机构进行宏观监管，确保其符合教育法规和标准。
具体教育机构的归属职业培训学校 ：如天津生态城巧匠职业培训学校，由天津人力资源和社会保障局主管，属于正规职业培训机构。
中小学教育 ：南开中学、滨海外国语学校等知名学府由教育部门直接管理，属于公办教育体系。
其他相关机构天津汉德三维教育集团 ：作为民办教育机构，需接受教育管理部门的监管，并通过教育公司合作引进优质教育资源。
总结 ：天津生态城的教育培训机构主要归教育管理部门监管，其中职业培训学校由人社局主管，普通学校由教育部门直接管理，而教育公司则作为市场化运营主体，探索公私融合的教育模式。
