根据相关法律法规和搜索结果，收留培训机构老师的行为是否合法需要结合具体情况分析：
一、校外培训机构老师进驻校内的合法性 政策规定明确禁止教育部门明确禁止校外培训机构在中小学校内开展课堂教学活动，若发现违规行为将一律取缔，除非办理合法手续。
混合所有制不改变性质公立学校引入校外培训机构属于混合所有制改革范畴，但需通过正规渠道办理相关手续，且教师需以合同制形式聘用，不影响国家编制。
二、培训机构老师私下接课的合法性 违反《教师法》义务在编教师在校外教育培训机构兼职属于违法行为，违反了《中华人民共和国教师法》第八条中“贯彻国家的教育方针，执行学校的教学计划”的义务。
可能引发劳动纠纷若教师同时与原单位保持劳动关系，可能因工作时间、薪资待遇等产生矛盾，原单位可依据《劳动合同法》第三十九条解除劳动关系。
三、其他相关问题教师资质审核 ：若涉及学历提升等特殊教育服务，需确保教师具备相应资质并办理合法手续。
利益冲突防范 ：教育部门强调防止资本方通过教师资源控制学校，建议通过公开招标等方式规范合作模式。
综上， 校外培训机构老师进驻校内或私下接课均不合法 ，需严格遵循教育部门规定，通过正规渠道办理相关手续。
