培训机构在以下情况下违约退款是违法的：
未履行合同义务 ：当培训机构未按照合同约定提供教学服务时，学员有权要求解除合同并退还相应费用。
“霸王条款” ：如果培训机构在合同中规定学费不能退，这被视为“霸王条款”，即使双方有此约定，该条款也是不合法的。
消费者保护 ：根据《消费者权益保护法》，消费者在购买、使用商品和接受服务时享有人身、财产安全不受损害的权利。如果因培训机构的原因导致学生无法完成学习计划，学生有权要求退学、退费。
合同违约 ：如果培训机构未按约定退还培训费，构成合同违约，应承担相应的违约责任。
综上所述，培训机构在未履行合同义务、存在“霸王条款”、违反消费者保护法规或构成合同违约的情况下，拒绝退款是违法的。学员可以通过协商、投诉或法律途径维护自己的合法权益。
