根据相关规范和通知，天津市小学足球培训的管理涉及以下部门及主体：
天津市体育局
作为地方体育行政管理部门，天津市体育局负责统筹协调全市足球运动发展，包括青少年足球培训的宏观管理、政策制定及资源调配。
中国足球协会（中国足协）
中国足协通过《青少年足球培训机构服务规范指引（试行）》等文件，对天津市青少年足球培训机构的服务质量、教练员资质等提出专业指导要求。
天津市足球运动协会
作为地方足球协会，天津市足协具体落实中国足协的规范指引，制定本地实施细则，并对青少年足球培训机构进行日常监管和评估。
补充说明
青少年足球培训需在教育部门指导下，结合学校体育课程开展，确保与学业平衡。
培训机构需具备相关资质，教练员需通过专业培训并取得合格证书。
以上部门共同构成天津市小学足球培训的管理体系，确保培训活动的规范性和有效性。
