沈阳艺术培训机构的管理部门可能包括以下几类：
沈阳市教育局 ：作为培养机构的管理部门，教育局负责全国基础教育、特殊教育、职业技术教育、校外教育、成人教育、高等教育等，因此艺术培训班作为校外教育的一部分，应由教育局管理。
文化和旅游部门 ：艺术培训机构涉及到文化艺术教育，与文化和旅游产业相关联，因此一般属于文化和旅游部门的监管范围。
市场监督管理部门 ：有观点认为艺术培训机构目前归市场监督管理部门监管，不需要办理办学许可证，只需办理正规的营业执照。
文体局或社区管理 ：从学校的教学管理上说，艺术培训机构可能归属于文体局管理，但如果有纠纷等问题，又属于当地社区管理。
综合以上信息，可以得出以下结论：
教育局 ：负责校外教育的管理。
文化和旅游部门 ：涉及文化艺术教育，与文化和旅游产业相关联。
市场监督管理部门 ：监管营业执照和经营范围。
文体局或社区 ：涉及教学管理和纠纷处理。
具体管理部门可能因地区而异，建议您根据沈阳当地的具体政策和管理规定，确认艺术培训机构的具体管理部门。
