培训机构老师被开除的合法性 取决于具体情况和原因 。以下是相关的法律依据和情况说明：
合法解除 ：如果教师存在严重违反培训机构规章制度、严重失职、营私舞弊等行为，用人单位可以依法解除劳动合同。
教师同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出后拒不改正的，用人单位也可以解除劳动合同。
无理由解除 ：无理由开除教师通常是不合法的。教师作为教育工作者，其工作岗位具有一定的稳定性和保障性。学校或培训机构若无正当理由开除教师，可能构成违法解除劳动合同。
用人单位解约必须具备法定原因，未经合理理由解雇员工作为非法解除合同。受影响员工有权选择要求用人单位继续履行合同或申请赔偿。
经济补偿 ： 如果用人单位违法解除劳动合同，员工可以要求用人单位支付经济补偿。赔偿标准为经济补偿的两倍，经济补偿参照员工在职年限，每满一年支付一个月的平均工资。 特殊情况 ：在编教师在校外教育培训机构兼职的行为，是会被开除的，因为这违反了《中华人民共和国教师法》规定的教师义务和《中华人民共和国劳动合同法》中禁止同时建立两个及以上劳动关系的规定。
教师从事有偿补课等行为，也可能导致被开除或撤销教师资格。
综上所述，培训机构老师被开除是否合法，需要具体分析其被开除的原因和情况。如果存在法定解除理由，且程序合法，则开除可能是合法的；否则，可能构成违法解除劳动合同，教师有权要求相应的赔偿。建议教师在面对开除决定时，首先了解相关法律规定，然后咨询专业律师或劳动争议仲裁机构，以维护自己的合法权益。
