关于考医师证的培训机构的管理部门，根据相关信息的综合分析如下：
主要监管部门国家卫生健康委员会 ：负责医师资格考试的组织实施、试卷管理及成绩发布。
地方卫生健康行政部门 ：具体负责本行政区域内的医师资格考试监管工作，包括报名审核、考场管理及合格证书发放。
其他相关机构国家医学考试中心 ：承担考试组织、试卷命制等具体工作，但属于国家卫生健康委员会下属机构，不直接管理培训机构。
地方卫生局 ：在部分考试环节（如报名资格审核）可能参与监管，但整体管理职责由卫生健康委员会承担。
培训机构的资质要求需取得 社会力量办学资格 ，并接受教育主管部门（如教育局）的认证。
课程设置、收费标准等需报教育部门批准后方可实施。
总结 ：考医师证的培训机构主要归 国家卫生健康委员会 及其地方分支机构管理，同时需配合教育部门的监管要求。
