根据搜索结果，南京地区篮球培训机构的管理涉及以下部门，具体分工需结合当地政策判断：
一、主要监管部门 文化和旅游体育局负责体育类培训机构的日常监管，包括青少年体育俱乐部、体育培训机构的规范管理，以及组织青少年体育赛事（如三人篮球比赛）。例如，南京市体育局曾主导青少年拳击培训机构的监管工作。
市场监督管理局对体育类培训机构作为个体经营主体进行注册登记和税务管理，确保其合法经营。
二、其他可能涉及的部门教育局 ：部分情况下可能参与体育类培训机构的资质审核，尤其是涉及中小学体育课程的补充培训。
消防部门 ：负责培训机构的消防安全监管。
消费者协会 ：处理消费者投诉，维护权益。
三、补充说明政策依据 ：江苏省明确将青少年体育类校外培训机构纳入体育行政部门监管体系，但具体实施细则可能因地区而异。
建议 ：建议办理前咨询当地文旅局或体育局，确认具体注册、资质要求及年检流程。
以上信息综合自南京市体育局官方文件及政府监管通知。
