私人培训机构补课是否违法， 取决于多个因素，包括培训内容、教师资质、开办手续等 。以下是一些关键点：
非学科类培训 ：如果私人培训机构提供的培训是非学科类的，如兴趣培养、特长课程（如跳舞、画画、书法、钢琴等），则被认为是合法的。
学科类培训 ：对于学科类培训，私人培训机构必须经过当地教育行政主管部门的批准，并获得办学许可证后才能开展业务。此外，授课教师必须具备国家认证的教师资格证书。
在职教师 ：在职教师如果利用寒暑假或其他时间进行有偿补课，或者在校外培训机构担任兼职，是被禁止的。这种行为违反了教育公益性原则和办学不得以营利为目的的原则。
法律依据 ：
《中华人民共和国教育法》第七十五条规定，违反国家有关规定举办学校或其他教育机构的，由教育行政部门予以撤销，并可能没收违法所得，对直接责任人员依法给予处分。
《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（“双减”政策）明确规定，严禁利用国家法定节假日、公休假日及寒暑假等时间进行任何形式的学科类培训活动。
综上所述，私人培训机构在提供非学科类培训且符合相关法规的情况下是合法的，但在提供学科类培训时必须经过批准并具备相应资质。在职教师则需遵守相关规定，不得从事有偿补课或在校外培训机构兼职。
